Partiendo de las funciones trigonométricas de ángulos agudos del nivel secundaria (cateto opuesto / hipotenusa), cuando enfrentamos ángulos mayores que $90^\circ$ o ángulos negativos, ya no se aplica el triángulo rectángulo geométricamente. En este momento,círculo unitariose convierte en la herramienta esencial para unificar todos los ángulos y definir las funciones trigonométricas.
1. Definición de funciones trigonométricas para ángulos arbitrarios
Sea $\alpha$ un ángulo arbitrario, cuyo lado terminal intersecta el círculo unitario en el punto $P(x, y)$, entonces se define:
- Seno (Sine): $\sin \alpha = y$
- Coseno (Cosine): $\cos \alpha = x$
- Tangente (Tangent): $\tan \alpha = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$
Si el punto $P(x, y)$ está sobre un círculo de radio $r$, entonces $\sin \alpha = \frac{y}{r}, \cos \alpha = \frac{x}{r}, \tan \alpha = \frac{y}{x}$.
2. Relaciones fundamentales para el mismo ángulo
Se deducen directamente a partir de la ecuación del círculo unitario $x^2 + y^2 = 1$:
1. Relación cuadrática: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
2. Relación de cociente: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
2. Relación de cociente: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
1. Recopilar los términos del polinomio: un cuadrado de $x^2$, tres tiras rectangulares de $x$, y dos cuadrados unitarios de $1\times1$.
2. Comienza a ensamblarlos geométricamente.
3. ¡Forman perfectamente un rectángulo más grande! Su ancho es $(x+2)$ y su altura es $(x+1)$.
PREGUNTA 1
Escribe el conjunto de ángulos que tienen el mismo lado terminal que $60^\circ$ y encuentra los elementos $\beta$ que satisfacen la desigualdad $-360^\circ \le \beta < 360^\circ$.
Conjunto $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; elementos $\beta = 60^\circ, -300^\circ$
Conjunto $\{ \beta | \beta = k \cdot 180^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; elementos $\beta = 60^\circ$
Conjunto $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; elementos $\beta = 60^\circ, 420^\circ$
Conjunto $\{ \beta | \beta = 60^\circ \}$; elementos $\beta = 60^\circ$
¡Correcto! Los ángulos con el mismo lado terminal difieren en múltiplos enteros de $360^\circ$. Cuando $k=0$, $\beta=60^\circ$; cuando $k=-1$, $\beta=-300^\circ$; ambos cumplen con el rango.
Pista: La forma general de ángulos con el mismo lado terminal es $k \cdot 360^\circ + \alpha$. Busca los valores de $k$ que cumplan con este rango.
PREGUNTA 2
Dado que $\alpha$ es un ángulo agudo, ¿entonces $2\alpha$ es ( )?
ángulo del primer cuadrante
ángulo del segundo cuadrante
ángulo positivo menor que $180^\circ$
ángulo del primer o segundo cuadrante
正确。因为 $\alpha$ 是锐角，即 $0^\circ < \alpha < 90^\circ$，所以 $0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$。注意 $2\alpha$ 可能是直角，不一定属于某个象限。
Ten en cuenta: el rango de ángulos agudos es $(0, 90^\circ)$, y al duplicarlo, el rango se vuelve $(0, 180^\circ)$. Incluye el primer cuadrante, el segundo cuadrante y el límite de $90^\circ$.
PREGUNTA 3
Dado que el lado terminal del ángulo $\theta$ pasa por el punto $P(-12, 5)$, halla el valor de $\sin \theta$.
$5/13$
$-12/13$
$-5/12$
$13/5$
¡Correcto! Primero calcula $r = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = 13$. Según la definición, $\sin \theta = y/r = 5/13$.
Calcula $r$: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$. La definición del seno es $y/r$.
PREGUNTA 4
(Respuesta oral) Supón que $\alpha$ es un ángulo interior de un triángulo. ¿Cuáles de las siguientes funciones podrían tener valores negativos: $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$?
Solo $\sin \alpha$
$\cos \alpha$ y $\tan \alpha$
Los tres podrían ser negativos
Solo $\tan \alpha$
Correcto. El rango de ángulos internos de un triángulo es $(0, \pi)$. En el primer cuadrante $(0, \pi/2)$, todos son positivos; en el segundo cuadrante $(\pi/2, \pi)$ (ángulo obtuso), el seno es positivo, pero el coseno y la tangente son negativos.
Pista: Un ángulo interno de un triángulo puede ser agudo, recto u obtuso. Considera el signo de las funciones cuando el ángulo está en el segundo cuadrante.
PREGUNTA 5
Dibuja la gráfica de $y = -\sin x$ en $[-\pi, \pi]$ usando el método de cinco puntos. ¿Cuál de los siguientes puntos NO es un punto clave?
$(0, 0)$
(\pi/2, -1)
(\pi/4, -\sqrt{2}/2)
(\pi, 0)
Correcto. El método de cinco puntos generalmente toma puntos cada cuarto de periodo, es decir, $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ y sus valores funcionales correspondientes. $\pi/4$ no es un punto clave estándar en este método.
El método de cinco puntos selecciona posiciones clave donde la función alcanza sus valores máximos, mínimos y ceros.
PREGUNTA 6
De las siguientes funciones, ¿cuál es tanto una función impar como tiene periodo $\pi$?
$y = \sin 2x$
$y = 1 - \cos x$
$y = \sin x \cos x$
$y = \tan x$
正确。$y = \sin 2x$ 是奇函数，且周期 $T = 2\pi/2 = \pi$。注意 $y = \tan x$ 虽然也是奇函数且周期为 $\pi$，但 $\sin 2x$ 在高中题目中更常作为此类型的标准答案，且 $y = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ 也是满足条件的（选项A更直接）。
Verifica la fórmula del periodo $T = 2\pi/\omega$ y la paridad $f(-x) = -f(x)$.
PREGUNTA 7
Sin calcular el valor, compara el tamaño de $\cos \frac{2\pi}{7}$ y $\cos(-\frac{3\pi}{5})$.
$\cos \frac{2\pi}{7} > \cos(-\frac{3\pi}{5})$
$\cos \frac{2\pi}{7} < \cos(-\frac{3\pi}{5})$
Son iguales
No se puede comparar
Correcto. $\cos(-3\pi/5) = \cos(3\pi/5)$. Dado que $2\pi/7 < \pi/2 < 3\pi/5$, y la función coseno es estrictamente decreciente en $[0, \pi]$, el ángulo más pequeño tiene un valor de coseno mayor.
Pista: Usa la fórmula de reducción $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$. Compara los ángulos dentro del mismo intervalo de monotonía.
PREGUNTA 8
Dada la función $f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x - \frac{\pi}{3})$, su periodo positivo mínimo es ( ).
$\pi$
$2\pi$
$\pi/2$
$4\pi$
Correcto. Según la fórmula del periodo $T = 2\pi / |\omega|$, aquí $\omega = 2$, por lo tanto $T = 2\pi / 2 = \pi$.
Fórmula del periodo: $T = 2\pi / \omega$.
PREGUNTA 9
Encuentra el valor de $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$.
$1/4$
$1/2$
$\sqrt{3}/4$
$1/8$
Correcto. Usa la aplicación inversa de la fórmula del ángulo doble: $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$. Por lo tanto, $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1/4$.
Pista: Usa la fórmula del ángulo doble $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$.
PREGUNTA 10
Dado que $\sin \beta + \cos \beta = 1/5$ y $\beta \in (0, \pi)$, ¿cuál es el valor de $\tan \beta$?
$-4/3$
$3/4$
$-3/4$
$4/3$
Correcto. Eleva al cuadrado ambos lados: $1 + 2\sin \beta \cos \beta = 1/25 \implies \sin 2\beta = -24/25$. Como la suma es $1/5 > 0$ y el producto es negativo, entonces $\sin \beta > 0$ y $\cos \beta < 0$ (segundo cuadrante). Al resolver el sistema, obtenemos $\sin \beta = 4/5$, $\cos \beta = -3/5$, por lo tanto $\tan \beta = -4/3$.
Pista: Eleva al cuadrado la ecuación para hallar $\sin \beta \cos \beta$, y combina con $\sin^2 + \cos^2 = 1$ para obtener los valores específicos de seno y coseno.
Desafío: Modelado trigonométrico de un carrusel
Análisis de fenómenos periódicos reales
Un carrusel tiene su punto más alto a 120 m del suelo y su punto más bajo a 10 m del suelo. Tarda 30 minutos en dar una vuelta completa. Supón que el carrusel gira a velocidad constante y que el pasajero comienza a contar el tiempo al entrar en la cabina desde el punto más bajo.
P1
Encuentra la expresión analítica de la función que relaciona la altura $h$ (m) del pasajero sobre el suelo con el tiempo $t$ (min).
Solución detallada:
1. Amplitud $A$: El radio es $(120 - 10) / 2 = 55$ m.
2. Desplazamiento vertical $k$: La altura central es $(120 + 10) / 2 = 65$ m.
3. Velocidad angular $\omega$: El periodo $T = 30$, entonces $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$.
4. Fase $\phi$: Cuando $t=0$, el pasajero está en el punto más bajo, $h=10$. Sea $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$. Cuando $t=0$, $55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$.
Expresión analítica: $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ o $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$.
1. Amplitud $A$: El radio es $(120 - 10) / 2 = 55$ m.
2. Desplazamiento vertical $k$: La altura central es $(120 + 10) / 2 = 65$ m.
3. Velocidad angular $\omega$: El periodo $T = 30$, entonces $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$.
4. Fase $\phi$: Cuando $t=0$, el pasajero está en el punto más bajo, $h=10$. Sea $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$. Cuando $t=0$, $55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$.
Expresión analítica: $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ o $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$.
P2
¿Cuál es la altura sobre el suelo del pasajero después de 5 minutos desde el inicio del movimiento?
Solución detallada:
Sustituye $t=5$ en la fórmula:
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$ m.
Conclusión: La altura es de 37.5 metros.
Sustituye $t=5$ en la fórmula:
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$ m.
Conclusión: La altura es de 37.5 metros.
P3
Si la cabina gira a velocidad constante, ¿cómo se manifiesta el cambio de posición tras media vuelta en la proyección sobre el círculo unitario?
Solución detallada:
Después de medio periodo (15 minutos), el ángulo aumenta en $\pi$ radianes. En el círculo unitario, esto significa que el punto $P(x, y)$ se rota hasta el punto simétrico respecto al origen, $P'(-x, -y)$. En las funciones trigonométricas, esto se expresa mediante la fórmula de reducción: $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$. Por lo tanto, si originalmente estaba en el punto más bajo, después de medio periodo estará en el punto más alto.
Después de medio periodo (15 minutos), el ángulo aumenta en $\pi$ radianes. En el círculo unitario, esto significa que el punto $P(x, y)$ se rota hasta el punto simétrico respecto al origen, $P'(-x, -y)$. En las funciones trigonométricas, esto se expresa mediante la fórmula de reducción: $\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$. Por lo tanto, si originalmente estaba en el punto más bajo, después de medio periodo estará en el punto más alto.
✨ Puntos clave
En el círculo unitarioobserva las coordenadas,$y$ es el seno $x$ es el coseno.Suma de cuadradossiempre es igual a uno,cociente tangentese mantiene para siempre!
💡 Las coordenadas son los valores de las funciones
Recuerda que el 'círculo unitario' es fundamental. La coordenada $x$ del punto de intersección del lado terminal con el círculo unitario es $\cos \alpha$, y la coordenada $y$ es $\sin \alpha$. No necesitas dividir por el radio.
💡 Regla mnemotécnica para los signos en los cuadrantes
“Todos positivos en el primero, seno positivo en el segundo, tangente positiva en el tercero, coseno positivo en el cuarto”. Esto determina cómo elegir el signo positivo o negativo al realizar operaciones de raíz cuadrada (por ejemplo, hallar $\cos \alpha$ a partir de $\sin \alpha$).
💡 Dominio de la tangente
Como $\tan \alpha = y/x$, cuando el lado terminal está sobre el eje $y$ (es decir, $\alpha = k\pi + \pi/2$), $x=0$, por lo que el valor de la tangente no está definido.
💡 Recordatorio sobre el uso del radián
Al aplicar la fórmula de Taylor o modelos físicos de periodo ($T=2\pi/\omega$), los ángulos deben usarse en radianes, no en grados.
💡 Método de cinco puntos para graficar
Al dibujar las curvas del seno y coseno, localiza con precisión los tres ceros y los dos puntos de máximo/mínimo, y únelos con una línea suave tipo “onda”, sin trazar segmentos rectos.